Лотерея чи профі б'ють пенальті за Нешем?
Автори:
Владислав Рашкован, заступник Виконавчого директора МВФ
Олексій Ігнатенко, доктор фізико-математичних наук, професор УКУ
Чемпіонат світу з футболу продовжується. На минулому тижні для 32 команд пройшла перша нокаут-серія. Дві гри закінчилися в серії післяматчевих пенальті, і коментатори та уболівальники вже встигли списати поразки на невезіння команд Німеччини та Нідерландів, мовляв, пенальті це лотерея.
Ми би не хотіли обговорювати хід цих ігор і закономірність або випадковість перемог, але радили би подивитися на цю історію через призму теорії ігор, тим паче, що кейс пенальті дуже гарно описаний в підручниках.
Стратегія пенальті в теорії ігор
Як ми знаємо, в пенальті неможливий компроміс чи ситуація "виграли обидва", тому що будь-яка перемога одного гравця автоматично є поразкою іншого, і навпаки. Така ситуація, коли виграш одного є точним програшем іншого, в теорії ігор моделюється іграми з нульовою сумою (zero-sum game).
З точки зору теорії ігор пенальті (penalty kick) є майже ідеальною маленькою моделлю для двох гравців. Один б'є, обираючи одну з декількох стратегій – ліворуч, праворуч, по центру, низом, верхом, сильно, з паузою, без паузи. Воротар також обирає, в який кут стрибнути. Обидва роблять це одночасно, не знаючи рішення іншого.
Усі можливі комбінації цих виборів і їхні результати можна звести в одну матрицю (payoff matrix). Рядками будуть стратегії нападника, стовпчиками стратегії воротаря, а в кожній клітинці – результат для обох, якщо саме ця пара виборів співпаде.
Якщо спростити гру до двох стратегій ліворуч і праворуч, вийде проста таблиця з чотирьох клітинок матриці.
Перша – нападник б'є ліворуч, воротар стрибає ліворуч – вони вгадали одне одного, і шанс гола падає до приблизно 65%.
Друга – нападник б'є ліворуч, а воротар стрибає праворуч. В такому сценарії нападник обіграв воротаря, і шанс гола злітає до приблизно 95%.
Третя і четверта клітинки – дзеркальне відображення перших двох, тільки навпаки щодо руху гравців. І там так само, якщо воротар вгадав напрямок, шанс гола падає, а якщо не вгадав – різко зростає.
Різниця між цими цифрами (65% та 95%) і є тим, заради чого обидва гравці грають. Математично нападник хоче потрапити в одну з двох клітинок, де напрямки не співпали, а воротар усіма силами тягне гру в одну з двох клітинок, де вони однакові. Саме з таких простих чисел, розкладених по клітинках, і виводиться вся подальша логіка гри: скільки разів варто бити ліворуч, а скільки праворуч, щоб жодна із цих цифр не стала для суперника надто зручною підказкою.
Парадокс заключається в тому, що в цій грі немає жодної детерміністичної стратегії, яка була б найкращою сама по собі. Оптимальна поведінка обох гравців будується не навколо власного ідеального ходу, а навколо ходу суперника. Обом потрібно передбачити, що зробить інший, і обрати відповідь, яка залишає другому гравцю найменше шансів. При цьому стратегія перестає бути найкращою щойно інший гравець її прочитав.
Стан, при якому жоден гравець більше не може покращити свій результат, змінивши лише власну стратегію і знаючи стратегію іншого, називається рівновагою Неша, і саме до неї обидва гравці, самі того не усвідомлюючи, прагнуть у кожному пенальті. Цікаво, що в цій рівновазі не існує єдиного "правильного" ходу, а є лише ймовірність, з якою гравці обирають свої ходи.
Читайте також колонки про Теорії ігор:
Як статистика реальних матчів співвідноситься з моделлю пенальті?
Є декілька економістів, які вивчають пенальті. Ці науковці розглядають цю конфліктну ситуацію, як полігон, на якому можна перевірити, чи насправді реальні люди в умовах тиску поводяться так раціонально, як це передбачає теорія.
До таких економістів можна віднести професора Чиказького університету Стівена Левітта (Steven Levitt), П'єра-Андре Шіаппорі (Pierre-Andre Chiappori) з Колумбійського університету, професора Лондонської школи економіки Ігнасіо Паласіос-Уерту (Ignacio Palacios-Huerta) та Тіма Гроуслоуза (Timothy Groseclose) з університету Джорджа Мейсона.
Ці економісти люблять пенальті, тому що дані тут не потрібно шукати або вигадувати, їх можна отримати з записів різних матчів. Що б не думав нападник чи воротар, все зводиться до одного числа – ймовірності, з якою ці гравці обирають той чи інший напрямок. А це означає, що результат окремого пенальті не є показником таланту чи характеру, а є реалізацією випадкової величини, наперед закладеної в саму структуру гри, що і робить футбол таким цікавим.
В одному дослідженні економісти проаналізували тисячі пенальті у європейських лігах і порівняли результативність ударів у різні кути воріт. Результат вийшов майже ідеальним для теоретика: незалежно від того, куди бив гравець, забивав він приблизно в 80% випадків. Ліворуч, праворуч, будь-який кут, різниця між напрямками виявилась статистично незначущою. Футболісти, які ніколи не чули словосполучення "рівновага Неша", інтуїтивно знайшли саме її.
Інше дослідження показало, що не існує єдиної універсальної "правильної" стратегії для всіх. Оптимальний вибір напрямку залежить від конкретного гравця (правша чи шульга, яка нога сильніша, які звички) і конкретного воротаря, з яким він грає. По суті, кожна пара "виконавець проти воротаря" веде свою окрему гру з власним балансом сил, а не грає за якимось одним підручниковим рецептом.
Дослідники також перевірили, чи впливає напрямок попереднього удару гравця на те, куди він битиме наступного разу. Виявилось, що для пенальті, розділених днями чи тижнями між різними матчами, такого зв'язку немає. Кожен удар практично незалежний від попереднього, ніби гравець щоразу підкидає внутрішню монету заново. Але самі дослідники зробили важливе застереження: цей висновок стосується розрізнених ударів у різних іграх. Чи працює те саме всередині однієї серії післяматчових пенальті, де удари йдуть один за одним за лічені хвилини, вони залишили відкритим питанням.
Професор Паласіос-Уерта пішов далі й перевірив зворотний бік цієї ж ідеї, запитавши, що відбувається, коли гравець чи команда перестають бути непередбачуваними.
Виявилось, що передбачуваність карається майже миттєво. Гравці й команди, чий патерн ударів можна прочитати, статистично частіше пропускають. Рівновага в пенальті тримається не тому, що так "правильно" чи "чесно", а тому, що будь-яке відхилення від неї одразу ж використовує суперник. Щойно гравець стає трохи передбачуванішим, він дійсно одразу платить за це гіршим результатом.
Ще один показовий приклад можна знайти в аналізі одного сезону англійської Прем'єр-ліги, зробленого дослідником Емануелем Боаттіні. На перший погляд дані розрахунків виглядають дивно: удари в центр воріт забивались частіше за все (майже 88%, тоді як по краях результативність була близько 71–79%). Здавалось би, висновок очевидний – щоб забити, треба бити в центр. Але Боаттіні пішов далі й подивився, як часто в тих самих матчах воротарі залишались стояти по центру. Виявилось, що лише в 6% випадків, хоча за логікою гри мали б робити це втричі частіше. Тобто висока результативність центральних ударів була не тому, що центр воріт є якимось особливо вдалим вибором, а тому, що воротарі систематично уникають найпростішого рішення просто залишитись на місці, і стрибають в різні сторони.
Як ми бачимо, статистика реальних матчів підтверджує майже підручникову теорію, і гравці справді грають близько до рівноваги, передбачуваність карається, а воротарі систематично помиляються там, де їм просто важко стояти на місці. Але ще більш важливою є психологічна складова в серіях пенальті.
Психологія проти стратегії
Усе, що ми описали вище, стосувалось пенальті всередині гри, яку можна описати як гру з одночасним ходом, коли обидва гравці обирають наосліп, не знаючи рішення іншого. Але щойно, як на минулому тижні, з'являється серія післяматчевих пенальті (penalty shootouts), гра стає іншою.
Рішення більше не приймаються одночасно, кожен наступний удар вже робиться з урахуванням повної інформації про всі попередні стратегії опонента. Воротар бачить, куди вже били гравці, нападники бачать, куди вже стрибав воротар. З'являється історія, а разом з нею і спокуса нею скористатись і змінити ймовірності, про які ми написали вище.
Тут варто повернутись до самого апарату теорії ігор. У матриці, яку ми описали для одного удару, виграш здавався простим: забив або не забив. Але насправді матриця, за якою насправді грає людина, значно ширша.
Гравець і воротар оптимізують не тільки ймовірність голу, а цю ширшу, соціальну функцію виграшу, в яку вшито особисте задоволення, сором перед трибунами і мільйонами глядачів, репутацію. Саме тому воротарі систематично пірнають убік навіть тоді, коли статистично вигідніше просто залишитись по центру (дослідники називають це action bias).
Стрибок завжди виглядає як спроба, а нерухомість, навіть правильна, виглядає як бездіяльність. Матриця в голові воротаря рахує не лише врятований гол, а й те, як цей вибір виглядатиме збоку.
Психологічний тиск у серії теж наростає нерівномірно, і не всі удари важать однаково. Є робота, в якій аналіз динаміки післяматчевих серій виявив, що команда, яка б'є першою, виграє приблизно в 60% випадків, тому що має реальну структурну перевагу. Така команда, починаючи серію, майже завжди йде попереду в рахунку: 1:0, 2:1, 3:2. Команда, яка б'є другою, щоразу опиняється в ситуації "треба зрівняти", а не просто "треба забити".
Хоча перший удар серії важливий, бо задає тон серії і надії, попереду ще багато сценаріїв розвитку, тому тиск на гравця не такий великий. А ось останній удар команди, яка на цей момент програє, має вже зовсім іншу вагу: якщо після чотирьох раундів рахунок не на твою користь і б'єш ти останнім, промах означає миттєву поразку. Є ще проміжна ситуація, коли невдалий удар не програє матч миттєво, але дає супернику шанс завершити все наступним ударом.
І нарешті, сама черговість гравців у серії це вже окрема гра тренера. Він або вона обирає поставити першим того, хто гарантовано вдарить у спокійнішій ситуації. Складніше вирішити, кого ставити п'ятим: до цього гравця може взагалі не дійти черга, а може дійти саме в момент найвищого психологічного тиску. Досвідченіші гравці здебільшого витримують цей тиск, менш досвідчені саме на вирішальних ударах ламаються частіше.
Теорія ігор та підготовка команд
Голкіпер Парагваю Орландо Хіль після перемоги над Німеччиною сказав журналістам, що команда "аналізувала кожного гравця Німеччини, кожну деталь його поведінки" перед серією пенальті. І клуби, і збірні дійсно наймають аналітиків, які будують саме такі матриці ймовірностей для кожного конкретного нападника суперника: куди він зазвичай б'є, як змінюється його вибір під тиском, чи є в нього звичка не повторювати той самий кут двічі поспіль.
Ця практика має довгу історію. Дослідження Паласіос-Уерти, про які ми писали вище, свого часу настільки зацікавили футбольний світ, що Челсі та Барселони консультувалися з ним постійно, а збірна Нідерландів зверталася до нього перед чемпіонатом світу 2010 року в ПАР, готуючи саме серію пенальті.
І саме тут ховається несподівано іронічний результат. Нідерланди, одна з перших збірних, яка серйозно інвестувала в таку аналітику, все одно програла Марокко по пенальті. Знання теорії не гарантує результат, лише його ймовірність. Рівновага Неша описує оптимальну поведінку в середньому, за тисячами спостережень, а не долю одного конкретного удару в одному конкретному матчі.
Варто також стримати спокусу, на яку так легко піддаються коментатори одразу після серії, коли воротар рятує два чи три удари поспіль, як з'являється наратив про те, що він "прочитав" кожного нападника. Але навіть п'ять чи шість ударів це надто мала вибірка, щоб відрізнити справжнє вміння передбачати від звичайного везіння. Історія про геніальну підготовку часто пишеться заднім числом, під результат, який уже відомий.
Це не означає, що всі воротарі однакові. Стабільна майстерність – це реальність. Такі гравці, як Еміліано Мартінес чи Джанлуїджі Буффон, дійсно рятували пенальті частіше за інших, але, найімовірніше, через загальний клас і багаторічний досвід, а не тому, що конкретно в тій чи іншій серії когось геніально "прочитали".
Тому те, що сталося на минулому тижні з Німеччиною і Нідерландами, це не невезіння і не диво. Це закономірний наслідок гри, у якій немає гарантованого виграшного ходу, є лише ймовірності, які можна покращити підготовкою, але ніколи не можна звести до нуля.