Лотерея или профессионалы бьют пенальти за Неша?
Авторы:
Владислав Рашкован, заместитель исполнительного директора МВФ
Алексей Игнатенко, доктор физико-математических наук, профессор УКУ
Чемпионат мира по футболу продолжается. На прошлой неделе для 32 команд прошла первая серия плей-офф. Два матча завершились серией послематчевых пенальти, и комментаторы и болельщики уже успели списать поражения на невезение сборных Германии и Нидерландов, мол, пенальти — это лотерея.
Мы бы не хотели обсуждать ход этих игр и закономерность или случайность побед, но посоветовали бы посмотреть на эту историю через призму теории игр, тем более что случай с пенальти очень хорошо описан в учебниках.
Стратегия пенальти в теории игр
Как мы знаем, в пенальти невозможен компромисс или ситуация "выиграли оба", потому что любая победа одного игрока автоматически является поражением другого, и наоборот. Такая ситуация, когда выигрыш одного является точным проигрышем другого, в теории игр моделируется играми с нулевой суммой (zero-sum game).
С точки зрения теории игр пенальти (penalty kick) является почти идеальной небольшой моделью для двух игроков. Один бьёт, выбирая одну из нескольких стратегий – влево, вправо, по центру, низом, верхом, сильно, с паузой, без паузы. Вратарь также выбирает, в какой угол прыгнуть. Оба делают это одновременно, не зная решения другого.
Все возможные комбинации этих выборов и их результаты можно свести в одну матрицу (payoff matrix). Строками будут стратегии нападающего, столбцами — стратегии вратаря, а в каждой ячейке – — результат для обоих, если именно эта пара выборов совпадёт.
Если упростить игру до двух стратегий — "левая" и "правая", получится простая таблица из четырёх ячеек матрицы.
Первая – нападающий бьет влево, вратарь прыгает влево – они угадали друг друга, и вероятность гола снижается примерно до 65%.
Второй – нападающий бьет влево, а вратарь прыгает вправо. В таком сценарии нападающий обыграл вратаря, и вероятность гола возрастает примерно до 95%.
Третья и четвёртая ячейки – зеркальное отражение первых двух, только наоборот в отношении движения игроков. И там так же: если вратарь угадал направление, шанс гола падает, а если не угадал – резко возрастает.
Разница между этими цифрами (65% и 95%) и есть то, ради чего играют оба игрока. Математически нападающий хочет попасть в одну из двух ячеек, где направления не совпадают, а вратарь всеми силами тянет игру в одну из двух ячеек, где они одинаковы. Именно из таких простых чисел, разложенных по ячейкам, и выводится вся дальнейшая логика игры: сколько раз стоит бить влево, а сколько вправо, чтобы ни одна из этих цифр не стала для соперника слишком удобной подсказкой.
Парадокс заключается в том, что в этой игре нет ни одной детерминистической стратегии, которая была бы наилучшей сама по себе. Оптимальное поведение обоих игроков строится не вокруг собственного идеального хода, а вокруг хода соперника. Обоим нужно предвидеть, что сделает другой, и выбрать ответ, который оставляет второму игроку меньше всего шансов. При этом стратегия перестает быть лучшей, как только другой игрок её прочитал.
Состояние, при котором ни один из игроков больше не может улучшить свой результат, изменив только собственную стратегию и зная стратегию другого, называется равновесием Нэша, и именно к нему оба игрока, сами того не осознавая, стремятся в каждом пенальти. Интересно, что в этом равновесии не существует единственного "правильного" хода, а есть лишь вероятность, с которой игроки выбирают свои ходы.
Читайте также колонки о теории игр:
Как статистика реальных матчей соотносится с моделью пенальти?
Есть несколько экономистов, которые изучают пенальти. Эти учёные рассматривают эту конфликтную ситуацию как полигон, на котором можно проверить, действительно ли реальные люди в условиях давления ведут себя так рационально, как это предсказывает теория.
К таким экономистам можно отнести профессора Чикагского университета Стивена Левитта (Steven Levitt), Пьера-Андре Шиаппори (Pierre-Andre Chiappori) из Колумбийского университета, профессора Лондонской школы экономики Игнасио Паласиос-Уэрту (Ignacio Palacios-Huerta) и Тима Гроуслоуза (Timothy Groseclose) из университета Джорджа Мейсона.
Эти экономисты любят пенальти, потому что данные здесь не нужно искать или придумывать, их можно получить из записей различных матчей. Что бы ни думал нападающий или вратарь, всё сводится к одному числу – вероятности, с которой эти игроки выбирают то или иное направление. А это означает, что результат отдельного пенальти не является показателем таланта или характера, а представляет собой реализацию случайной величины, заранее заложенной в саму структуру игры, что и делает футбол таким интересным.
В одном исследовании экономисты проанализировали тысячи пенальти в европейских лигах и сравнили результативность ударов в разные углы ворот. Результат оказался почти идеальным для теоретика: независимо от того, куда бил игрок, он забивал примерно в 80% случаев. Влево, вправо, в любой угол — разница между направлениями оказалась статистически незначимой. Футболисты, которые никогда не слышали словосочетания "равновесие Нэша", интуитивно нашли именно его.
Другое исследование показало, что не существует единой универсальной "правильной" стратегии для всех. Оптимальный выбор направления зависит от конкретного игрока (правша или левша, какая нога сильнее, какие привычки) и конкретного вратаря, с которым он играет. По сути, каждая пара "исполнитель против вратаря" ведёт свою отдельную игру со своим собственным балансом сил, а не играет по какому-то одному учебниковому рецепту.
Исследователи также проверили, влияет ли направление предыдущего удара игрока на то, куда он будет бить в следующий раз. Оказалось, что для пенальти, разделенных днями или неделями между разными матчами, такой связи нет. Каждый удар практически независим от предыдущего, словно игрок каждый раз подбрасывает внутреннюю монету заново. Но сами исследователи сделали важное оговорку: этот вывод касается разрозненных ударов в разных играх. Работает ли то же самое в рамках одной серии послематчевых пенальти, где удары следуют один за другим в течение считанных минут, они оставили открытым вопросом.
Профессор Паласиос-Уерта пошёл дальше и рассмотрел обратную сторону этой же идеи, задавшись вопросом, что происходит, когда игрок или команда перестают быть непредсказуемыми.
Оказалось, что предсказуемость наказывается почти мгновенно. Игроки и команды, чей паттерн ударов можно прочитать, статистически чаще пропускают. Равновесие в пенальти сохраняется не потому, что это "правильно" или "честно", а потому, что любое отклонение от него сразу же использует соперник. Как только игрок становится чуть более предсказуемым, он действительно сразу же расплачивается за это худшим результатом.
Еще один показательный пример можно найти в анализе одного сезона английской Премьер-лиги, проведенном исследователем Эмануэлем Боаттини. На первый взгляд данные расчётов выглядят странно: удары по центру ворот забивались чаще всего (почти 88%, тогда как по краям результативность составляла около 71–79%). Казалось бы, вывод очевиден – чтобы забить, нужно бить в центр. Но Боаттини пошел дальше и посмотрел, как часто в тех же матчах вратари оставались стоять по центру. Оказалось, что лишь в 6% случаев, хотя по логике игры они должны были бы делать это втрое чаще. То есть высокая результативность ударов по центру объяснялась не тем, что центр ворот является каким-то особенно удачным выбором, а тем, что вратари систематически избегают самого простого решения — просто остаться на месте — и прыгают в разные стороны.
Как мы видим, статистика реальных матчей подтверждает почти учебниковую теорию, и игроки действительно играют близко к равновесию, предсказуемость наказывается, а вратари систематически ошибаются там, где им просто трудно стоять на месте. Но ещё более важной является психологическая составляющая в сериях пенальти.
Психология против стратегии
Все, что мы описали выше, касалось пенальти в ходе игры, которую можно охарактеризовать как игру с одновременным ходом, когда оба игрока выбирают вслепую, не зная решения другого. Но как только, как на прошлой неделе, начинается серия послематчевых пенальти (penalty shootouts), игра становится другой.
Решения больше не принимаются одновременно, каждый следующий удар уже делается с учётом полной информации обо всех предыдущих стратегиях оппонента. Вратарь видит, куда уже били игроки, нападающие видят, куда уже прыгал вратарь. Появляется история, а вместе с ней и соблазн воспользоваться ею и изменить вероятности, о которых мы писали выше.
Здесь стоит вернуться к самой теории игр. В матрице, которую мы описали для одного удара, выигрыш казался простым: забил или не забил. Но на самом деле матрица, по которой на самом деле играет человек, значительно шире.
Игрок и вратарь оптимизируют не только вероятность гола, но и эту более широкую, социальную функцию победы, в которую вплетены личное удовлетворение, стыд перед трибунами и миллионами зрителей, а также репутация. Именно поэтому вратари систематически ныряют в сторону даже тогда, когда статистически выгоднее просто остаться по центру (исследователи называют это action bias).
Прыжок всегда выглядит как попытка, а неподвижность, даже правильная, выглядит как бездействие. Матрица в голове вратаря учитывает не только спасённый гол, но и то, как этот выбор будет выглядеть со стороны.
Психологическое давление в серии тоже нарастает неравномерно, и не все удары имеют одинаковый вес. Есть работа, в которой анализ динамики послематчевых серий показал, что команда, которая бьет первой, выигрывает примерно в 60% случаев, поскольку обладает реальным структурным преимуществом. Такая команда, начиная серию, почти всегда идёт вперёд по счёту: 1:0, 2:1, 3:2. Команда, которая бьёт второй, каждый раз оказывается в ситуации "нужно сравнять", а не просто "нужно забить".
Хотя первый удар в серии важен, поскольку задает тон серии и надежды, впереди ещё много сценариев развития событий, поэтому давление на игрока не такое большое. А вот последний удар команды, которая на данный момент проигрывает, имеет уже совсем иное значение: если после четырёх раундов счёт не в твою пользу и ты бьешь последним, промах означает мгновенное поражение. Есть ещё промежуточная ситуация, когда неудачный удар не приводит к мгновенному проигрышу матча, но даёт сопернику шанс завершить всё следующим ударом.
И, наконец, сама очередность выхода игроков в серии — это уже отдельная игра тренера. Он или она решает выпустить первым того, кто гарантированно забьет в более спокойной ситуации. Сложнее решить, кого ставить пятым: до этого игрока может вообще не дойти очередь, а может дойти именно в момент наибольшего психологического давления. Более опытные игроки в большинстве случаев выдерживают это давление, менее опытные именно на решающих ударах ломаются чаще.
Теория игр и подготовка команд
Вратарь Парагвая Орландо Хиль после победы над Германией сказал журналистам, что команда "анализировала каждого игрока Германии, каждую деталь его поведения" перед серией пенальти. И клубы, и сборные действительно нанимают аналитиков, которые строят именно такие матрицы вероятностей для каждого конкретного нападающего соперника: куда он обычно бьет, как меняется его выбор под давлением, есть ли у него привычка не повторять один и тот же угол два раза подряд.
Эта практика имеет долгую историю. Исследования Паласиос-Уэрты, о которых мы писали выше, в своё время настолько заинтересовали футбольный мир, что "Челси" и "Барселона" постоянно консультировались с ним, а сборная Нидерландов обращалась к нему перед чемпионатом мира 2010 года в ЮАР, готовясь именно к серии пенальти.
И именно здесь кроется неожиданно ироничный результат. Нидерланды, одна из первых сборных, которая серьезно инвестировала в такую аналитику, все равно проиграла Марокко в серии пенальти. Знание теории не гарантирует результат, а лишь его вероятность. Равновесие Нэша описывает оптимальное поведение в среднем, по тысячам наблюдений, а не исход одного конкретного удара в одном конкретном матче.
Стоит также удержаться от соблазна, которому так легко поддаются комментаторы сразу после серии, когда вратарь отражает два или три удара подряд, как сразу появляется нарратив о том, что он "прочитал" каждого нападающего. Но даже пять или шесть ударов — это слишком малая выборка, чтобы отличить настоящее умение предвидеть от обычного везения. История о гениальной подготовке часто пишется задним числом, под результат, который уже известен.
Это не означает, что все вратари одинаковы. Стабильное мастерство – это реальность. Такие игроки, как Эмилиано Мартинес или Джанлуиджи Буффон, действительно отражали пенальти чаще других, но, скорее всего, благодаря общему классу и многолетнему опыту, а не потому, что конкретно в той или иной серии кого-то гениально "прочитали".
Поэтому то, что произошло на прошлой неделе с Германией и Нидерландами, — это не невезение и не чудо. Это закономерное следствие игры, в которой нет гарантированного выигрышного хода, есть лишь вероятности, которые можно улучшить подготовкой, но никогда нельзя свести к нулю.